直拉法生长的硅单晶中的杂质浓度受到许多因素的影响。掺杂估算所考虑的只是肩部下刚开始等径生长的硅单晶要达到的目标电阻率。在忽略了一些次要因素后，可以对掺杂量进行大致的估算，作为试拉时的依据，然后可以再根据试拉的结果进行修正。
直拉法生长硅晶体时炉膛中的气氛有正压、减压氩气(也可用氮气)和真空三种。在不同的气氛下，掺杂剂的蒸发情况不同。掺杂估算时必须考虑它的影响。下面我们分别讨论不同气氛下的掺杂估算。
(a)不考虑熔硅中的杂质挥发时的掺杂估算
生长用于集成电路和分立器件制造的大直径中、低阻晶体时，普遍采用减压氩(氮)气气氛。除重掺杂外，在两种气氛下生长硅单晶时都不用纯元素掺杂，而是用掺杂元素与硅的合金与多晶硅共熔掺杂。这是因为一方面纯元素量太少不易精确计量，另一方面其物理化学性质与硅熔体也相差太远，例如某些元素的熔点比硅低得多，与多晶硅共熔时将于硅熔化前挥发。
CZ法生长是典型的正常凝固过程，在忽略杂质的挥发效应的情形，掺杂剂的轴向分布遵从Pfann关系式(3．149)，分布曲线如图3．41所示。选取晶体肩部位置的电阻率为目标电阻率上限，如果可以忽略杂质的挥发、石英坩埚引入的杂质、多晶硅中的初始杂质浓度和母合金电阻率的不均匀性对于目标电阻率的影响，则可以推出以下的掺杂估算公式。
母合金中的掺杂元素分凝进入晶体，达到与目标电阻率相应的掺杂剂浓度，故有
（a+m)CS=keff.Cm .m
式中，a为多晶硅的重量，m为掺人的母合金的重量；Cm 为母合金中掺杂剂的浓度，keff为有效分凝系数，CS 为晶体肩部位置处目标电阻率对应的杂质浓度。因而掺入的母合金的重量可由下式计算得到：
m=CS/[(keff.Cm -cs)a]
在减压氩气气氛下，生长硅单晶速度为lmm／min时，几种常用掺杂元素在硅中的有效分凝系数的一组数据是：磷为0．406，硼为0．91，锑为0．052。
按式(4．19)估算掺杂量，再根据实际情况加以修正。一般能够做到比较准确地控制生长成的晶体的电阻率。
(b)考虑熔硅中的杂质挥发时的掺杂估算
在真空环境下生长硅单晶或者掺杂剂元素的挥发性很强时，必须考虑掺杂剂的蒸发。掺杂元素的蒸发系数以Sb、As最大，P、Al较小，硼很小。掺杂剂的蒸发使其浓度发生的变化可由下式表示：
（见插图5个公式为以下6个需要的计算式）NO.1
式中，E为掺杂元素的蒸发系数，AL为熔体蒸发面积，VL为熔体体积，CL为熔体中掺杂剂的浓度。对式(4．10)积分，得
NO.2
式中CL0为晶体放肩结束时熔体中的掺杂元素的浓度。故在考虑熔硅中的杂质挥发的情形，要达到同样的目标电阻率所需要加入的母合金的重量为
NO.3
其中t为从母合金熔化到放肩结束这两个时刻之间的时间。
(3)掺杂结果的修正方法
在掺杂过程中，由于下列因素得到的结果可能与掺杂估算不一致：
(a)多晶硅的杂质浓度的测试不准确。
(b)多晶硅中存在着其他电活性杂质；
(c)多晶硅中有明显的杂质补偿；
(d)母合金中杂质浓度的数据不准确；
(e)石英坩埚材料中主要杂质含量不一致；
(f)蒸发系数、坩埚的沾污率等数据的选择不合适；
(g)生长硅单晶过程中从开始熔化到收肩的时间控制不严格；
(h)生长硅单晶工艺的其他不稳定因素。
如果由于以上因素生长出的晶体的电阻率与掺杂估算有偏离，可在下一次生长硅单晶中应用比例法进行修正。修正式可用：
NO.4
式中，m1为上次生长硅单晶时掺人的合金重量；ρ1为上次生长硅单晶时晶体的电阻率；m2为下次生长硅单晶时应掺入的合金重量；ρ2为下次生长硅单晶时晶体的电阻率。
(4)元素掺杂法的掺杂估算
生长外延衬底稳压管、太阳能电池用重掺硅单晶和掺杂用母合金(其电阻率为
0.1-0.000000001欧姆时采用元素掺杂法。一般采用在多晶熔化后将掺杂剂投入熔硅进行掺杂的方法。掺杂元素的纯度一般为5～7个“9”。其掺杂计算如下：
(a)当忽略掺杂元素的蒸发时
NO.5
其中A和A’分别为掺杂元素与硅的原子量。
(b)当考虑掺杂元素的蒸发时
NO.6
式中，A为掺杂元素的原子量；A’为硅的原子量，Cs为重掺杂单晶的杂质浓度，单位是10-9cm-3。其他符号意义同上。
应当指出，除了上述计算的掺杂量外，还应根据实际情况考虑掺杂时高温冲击引起额外蒸发的杂质，以及炉膛内的掺杂元素在气氛中的分压等因素的影响。
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