【专家解说】：数学建模的层次分析法
陈 义 华
(甘肃工业大学技术工程学院, 兰州 730050)
摘 要 阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题, 运用层次分析法
建立数学模型的一般步骤和计算方法, 并通过实例分析, 说明了层次分析法在决策中
的有效性.
关键词 数学模型 层次分析法 决策分析 排序 数学建模竞赛
分类号 O157. 5
层次分析法(TheA nalytic H ierarchy Process, 简称AHP)是美国著名运筹学家、匹兹堡大
学教授 T. L. Saaty 于 70 年代中期提出的一种系统分析方法, 是一种实用的多准则决策方法.
该法能够定量与定性相结合, 将人的主观判断用数量形式表达和处理, 从本质上讲是一种思维
方式, 并具有高度的逻辑性、系统性、简洁性和实用性等优点. AHP 在工程技术、能源系统分
析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用.
本文阐述了AHP 的基本思想和步骤、计算问题, 针对天车与冶炼炉的作业调度问题, 利
用AHP 对天车台数进行了最优方案的选择.
1 A H P 建模的基本思想和步骤[1～3
]
A H P 的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次
结构, 通过两两比较因素(或目标、准则、方案)的相对重要性, 给出相应的比例标度; 构造上层
某要素对下层相关元素的判断矩阵, 以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列. AHP 的
核心问题是排序问题, 包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理.
运用AHP 解决实际问题, 大体可以分为 4 个基本步骤.
1) 建立递阶层次结构模型
将问题所包含的因素按属性不同而分层, 可以划分为最高层、中间层和最低层. 同一层次
元素作为准则, 对下一层次的某些元素起支配作用, 同时它又受上一层次元素的支配, 这种从
上至下的支配关系形成一个递阶层次.
最高层通常只有一个元素, 它是问题的预定目标, 表示解决问题的目的, 因此也称目标层.
中间层为实现总目标而采取的措施、方案和政策, 它可以由若干个层次组成, 包括所需考
虑的准则、子准则, 因此也称为准则层.
最低层为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 用于解决问题的各种途径和方法,
也称为方案层, 见图 1.
收稿日期: 1996205216
? 1994-2006 China Academic Journal Electro
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第 3 期 陈义华: 数学建模的层次分析法
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当某个层次包含因素较多时(如
超过 9 个), 可将该层次划分为若干
层.
2) 构造两两比较判断矩阵
设要比较 n 个因素 X = {x1, x2, …, xn}对目标 Z 的影响, 确定它们在
Z 中所占的比重. 每次取两个因素 x
i
和 x , 以 aij表示 x 和 x 对 Z 的影响
j
i
j
之比, 得到两两比较判断矩阵:
A = (aij) n×n
(1)
其中, aij > 0, aj =
1
(i ≠ j)
i
aij
aij = 1 (i, j = 1, 2, …, n) (2)
使式(2)成立的矩阵称为正负反矩阵.
确定 aij采用 1～ 9 及其倒数作为
图 1 递阶层次结构示意图
标度的标度方法(见表 1). 如果介于上述相邻判断中间, aij取值分别为 2, 4, 6, 8.
3) 层次单排序及其一致性检验
表 1 比较尺度的取值方法
(1) 层次单排序. 先解出判断矩阵A 的最大
x
相等 较强
强 很强 绝对强
i
x
j
特征值 Κm , 再利用:
aij
1
3
5
7
9
ax
AW = Κm W 3
ax
( )
解出 Κm 所对应的特征向量W ,W 经过标准化后, 即为同一层次中相应元素对于上一层次中某
ax
因素相对重要性的排序权值.
(2) 一致性检验. 首先计算A 的一致性指标 C
I, 定义:
Κm - n
ax
C I =
(4)
n -
1
式中, n 为A 的阶数. 当CI= 0, 即 Κm = n 时[1 ,A 具有完全一致性. CI 愈大,A 的一致性愈差.
]
ax
将CI 与平均随机一致性指标R I 进行比较, 令CR =
C I
, 称 CR 为随机性一致性比率. 当
R I
CR < 0. 10 时,A 具有满意的一致性, 否则要对A 重新调整, 直到具有满意的一致性. 这计算出
的 Κm 所对应的特征向量W , 经过标准化后, 才可以作为层次单排序的权值.
ax
表 2 给出了对于 1～ 9 阶判断矩阵的R I 值.
表 2 随机性指标R I 值
阶数 n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R I
0
0
0. 58
0. 90
1. 12
1. 24
1. 32
1. 41
1. 45
4) 层次总排序及其一致性检验
利用同一层次中所有层次单排序结果, 计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的
权值, 这就是层次总排序. 设上一层次所有元素A ,A , …,A
1
2
m
的总排序已完成, 其权值分别为
a1, a2, …, am 与 aj 对应的本层次元素B ,B , …,B
1
2
n
单排序的结果为 b1j, b2j, …, bnj (当B 与A
k
j
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