的导数f′(x)=m(2x-4+1x)-(2m2+1)+2x,
由函数f(x)在(1,0)处的切线斜率为0,
即有f′(1)=0,f(1)=0,
即为2m2+m-1=0,且2m2+3m+1=0,
解得m=-1,
即有f(x)=-x2+x+lnx,
f(x)=-x2+x+lnx的导数为f′(x)=-2x+1+1x
=-2x2+x+12=-(2x+1)(x-1)x,
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
则有f(x)在x=1处取得极大值,也为最大值,且为0,
由于函数f(x)的图象与直线y=k2-2k无公共点,则k2-2k>0,
解得k>2或k<0;
(2)设F(x)=f(x)-((p-2)x2+p+22x+2x-x2 )
=lnx-p2x-p+22x,
F′(x)=1x-p2+p+22x2=-px2+2x+(p+2)2x2,
当p=0时,F′(x)=2x+22x2>0,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-1<0不成立,(舍)
当p≠0时F′(x)=-p(x+1)(x-p+2p)2x2,
当1+2p<-1,即-1<p<0时,F(x)在[1,2]递增,F(1)=-p-1<0,不成立;
当-1<1+2p≤1,即p<-1时,F(x)在[1,2]递增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得p≤-1,
所以,此时p<-1;
当p=-1时,F(x)在[1,2]递增,成立;
综上,p的取值范围是(-∞,-1].
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