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机率密度函数 机率密度函数（p.d.f.，probability density function）描述了随机变量的概率分布，为累积分布函数的导函数。 [编辑]定义 对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数<math>f_X (x)</math>都可以被定义为其概率密度函数： <math>f_ (x)\ge 0, -\infty <x< \infty</math> <math>\int_{-\infty}^{\infty} f_ (x)\,dx = 1</math> 随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： <math>P[a< X\le b]=\int_^ f_X (x)\,dx</math> 而<math>F(x)=P[X<x]=\int_{-\infty}^f_(\xi)d\xi</math>是X的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。 [编辑]应用 由机率密度函数可以求出期望值、变异数等矩量。 期望值（一阶矩）： E[X]=<math>\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx </math> 变异数（二阶矩）： VAR[X]=<math>\int_{-\infty}^{\infty} (x-E[X])^2f(x)\,dx </math> [编辑]特征函数 对机率密度函数作傅利叶转换可得特征函数。 <math>\Phi_X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{j\omega x}\,dx </math> 特征函数与机率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同於知道一个分布的机率密度函数。da:Sandsynlighedstæthedsfunktion en:Probability density function it:Funzione di densità di probabilità nl:Kansdichtheid sv:Täthetsfunktion
一束粒子被一個障礙物﹝位於x = 0﹞給分散，其波函數為下：Ψ(x, t) = Ae-iEt/h [當 x < 0 ] Ψ(x, t) = e-iEt/h ( Beikx + Ce-ikx ) [當 x> 0 ]其中 E = h2k2/( 2m ) 及 k > 0，A、B及C為複雜係數 (complex coefficient)。﹝其中的「h」為「h-bar」，就是h上面一橫﹞(a) 算出其機率密度 p(x, t)當x < 0。
(b) 算出其機率流密度 j(x, t)當x < 0。
(c) 算出其機率密度 p(x, t)當x > 0。
(d) 算出其機率流密度 j(x, t)當x > 0。
(e) 上面的波函數含三個不同的部份，A、B及C三個係數，說出每一個是右移還是左移。它們三個分別代表入射、反射及發射，那個是那個？
註：p(x, t)及j(x, t)的答案必定是實數。
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