城市轨道交通每天都在消耗着大量的能源。节约运行能耗对降低轨道交通运营成本、提高经济效益具有十分重要的现实意义。
为降低能耗，人们采取了许多节能措施，包括车辆轻量化(如采用铝合金车体)、节能线路设计、采用移动闭塞列车控制系统等。其中，列车按照预定的节能曲线自动驾驶是一个最经济的办法，而且对服务质量不会产生任何影响。这种驾驶曲线根据列车性能和线路最大通过能力的要求，对列车加速、减速、惰行等运行状态加以平衡。在轨道交通工程线路纵断面设计时，节能坡是一种很重要也十分必要的手段，它不但要满足地形、地质、障碍物及行车安全条件的要求，还要力求减少工程量和创造良好的运营条件，以降低运营费用，达到降低能耗的目的。
本文主要就节能坡的最优控制原理、主要原则及在轨道交通工程中的应用等做些分析和探讨。
1、节能坡的最优控制原理
1.1节能运行的二维控制模型
轨道交通线路设计大都为新线设计。为求解能耗最小的列车最佳运行方式，可采用二维控制模型[2]。
令ｕ1(任一坡段的坡度(ｉ)与最大允许坡度(ｉｍ)之比)为坡度控制变量，ｕ2(即时可控力(Ｆ)与最大牵引力(Ｆｍ)之比)为列车运行的控制变量。根据以上定义，对ｕ1、ｕ2有如下约束：
式中ｕＢ=Ｂｍ/Ｆｍ，为最大制动力与最大牵引力之比。
由于城市轨道交通自身的特点，线路通常位于人口密集、建筑物众多的市区，线路设计一般是在保证需要的通过能力的前提下，先确定站位位置，再确定引线方案。本文假设站位、车站相对高差和站间距均为给定的。令Ｈ为两站相对高差，Ｌ为站间距。根据牛顿力学定律及几何关系，建立列车运行状态方程组
式中：ｖ为列车运行速度；ｓ，ｈ分别为列车质心坐标；ｆｍ为即时速度最大单位牵引力；Ｗ0为列车单位基本运行阻力；ｉｍ为最大允许坡度。由于ｈ轴正方向向下，因此在理论分析中，下坡道ｉ为正。状态方程组(3)应满足的边界条件：
为确定能耗最小的最佳坡度形式，建立如下目标函数：
1.2 问题求解
根据庞特里亚金最大值原理，ｕ1、ｕ2必须使汉密尔顿函数达到最大，即使下式中Ｈａ最大
在最优控制中，控制分为正规控制和奇异控制两种。控制变量取固定值的解称为正规解，如ｕ2取1，0或-1。奇异控制是指控制变量取不确定的值，如ｕ1在(-1，1)之间取值。
综上分析，可得出坡度的最优控制策略由最大下坡道、过渡坡道和最大上坡道组成。而列车运行的最优控制策略为最大力牵引运行、恒速运行、惰力运行和制动运行组成。其相互转换点根据约束条件式(4)和控制变量ｕ的取值式(8)、式(9)，求解式(7)、式(3)联合组成微分方程组求得。此为两点边界值问题，求解的关键在于确定协状态变量的初始条件。为简化求解工作，需要知道最佳轨迹的形式，因为在轨迹形式确定以后，只需求出变坡点及工况转换点即可。
根据式(8)、(9)，在机车运行奇异控制时有：
ｐ- ｖ=0 (10)
在坡度奇异控制时有：
ｐ1+ ｐ3ｖ+ｐ3 ｖ=0 (11)
求解上述微分方程，根据文献，可得出坡道奇异时的运行速度：
