使用信号平均来提高测量的准确性

我们的测量不可避免地会受到来自不同的噪声的影响。有时，我们测量的信号比噪声分量小几个数量级。在这些情况下，我们需要降噪技术以某种方式抑制噪声。在本文中，我们将研究在特定情况下非常有效的信号平均法。 

假设实验的输出是如图 1 所示的指数曲线。

假设我们的测量设置使用 ADC 将该信号数字化。理想情况下，我们希望得到图 1 中的曲线样本；然而，实际上，噪声电压出现在 ADC 输入端并破坏了我们的样本。假设噪声分量服从均值为 0、方差为 1 的正态分布。图 2 显示了此类噪声分量的示例。

如果我们将上述噪声分量添加到图 1 所示的所需输出中，我们将获得图 3 中的波形。

如您所见，噪声大到足以掩盖所需的输出。我们如何才能实现更准确的测量？实际上，如果某些关于噪声分量的假设是有效的，这在理论上是可能的。让我们假设噪声样本既不相互关联，也不与期望的输出相关。此外，假设噪声的平均值为零。现在，让我们重复这个实验三次，如图 4 所示。

在 t=0.3 ms 时，我们从这三个实验中得到以下值：

X 1 = S 1 + n 1 = -0.707 v

X 2 = S 2 + n 2 = 1.712 v

X 3 = S 3 + n 3 = 2.557 v

在上述等式中，当 i = 1、2、3 时，Si 表示所需的信号值，在此特定示例中为 0.7769 v（来自图 1）。然而，作为噪声分量的 n i随实验的不同而不同。由于噪声样本彼此不相关且均值为零，因此对上述三个值进行平均应该可以更好地估计所需值。我们获得：

X平均值= 1.187 v

请注意，在我们所有的实验中都相同的期望值并没有被平均过程抑制；但是，随机且均值为零的噪声分量会变小。图 5 显示了我们通过计算三个实验的平均值得到的信号。尽管平均值仍然非常嘈杂，但它的整体形状在某种程度上类似于图 1 中的指数曲线。 

是否可以通过增加实验次数来提高准确率？图 6 显示了 100、200、300 和 400 次实验的平均输出。

随着我们增加实验次数，我们得到越来越准确的测量结果。让我们看一下平均的数学分析，并量化增加实验次数对噪声抑制的影响。

假设一个实验可以重复 N 次试验。如果我们用 j 表示实验编号，则第 j 个实验的输出 X j可以写为 

X j = S + n j      1 ≤ j ≤ N 

其中 S 表示所有这些 N 次试验都相同的期望输出，n j是影响第 j 次试验的噪声分量。与所需的输出不同，噪声分量因实验而异。假设，为了将我们的测量值数字化，我们从每个实验的输出中总共提取了 M 个样本。如果我们用 k 表示样本数，我们有 

X j (k) = S(k) + n j (k) 1 ≤ k ≤ M 

因此，对于给定的样本数 p，我们从这些实验中得到 N 个不同的值：        

X 1 (p) = S(p) + n 1 (p)

X 2 (p) = S(p) + n 2 (p)

……

X M (p) = S (p) + n M (p)

我们看到信号平均可以抑制噪声分量。这些值的平均值是 

XAvg(p)=1MM∑j=1(S(p)+nj(p))XAvg(p)=1M∑j=1M(S(p)+nj(p))

由于 S(p) 对于所有这些实验都是相同的，我们有

$${}_{Avg}\left(p\right)=S\left(p\right)+\frac{1}{M}\sum _{j=1}^M{}_j\left(p\right)=S\left(p\right)+n\left(p\right)$$

我们不知道影响第 j 个实验的噪声样本 n j (p) 的确切值，但我们假设它是一个均值为零且方差为 σ n 2的随机变量。为了量化信号平均对降噪的影响，我们应该计算平均噪声分量 n(p) 的方差，我们将用 σ n, avg 2表示。我们知道可以通过以下等式找到方差：

$${}^{}=E\left(\right[n\left(p\right){}^{})?{}^{}$$

其中 E(.) 表示期望值，μ 是 n(p) 的平均值。由于假定随机变量 nj(p) 的均值为零，因此 n(p) 的均值也将为零。因此，我们有

{\sigma _{n, avg} }^2 =E\left ([n(p)]^2 \right ) =E\left [ \frac{1}{M}\sum_{j=1} ^M n_j(p)\right ]^2 = E\left ( \frac{1}{M^2}\sum_{j=1}^M n_j(p) \sum_{j=1}^M n_j( p) \右 )

这可以改写为 

$${}^{}=E\left(\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^M{}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)=\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^{M}E\left({}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)$$

如果您需要查看期望运算符的属性，请观看此视频。上面的求和总共有 M 2项。其中一些涉及乘以两个不同的随机变量，即 n i (p)n j (p)，其中 i≠j。对于这些项，由于我们假设随机变量是独立的，所以我们有：

\[E(n_i(p)n_j(p))=E(n_i(p))E(n_j(p))=0 \; \; \; \; 为了 \; \; \; 我 \neq j \]

因为每个随机变量的期望值为零。然而，对于 i=j 的项，我们得到

\[E\left ( n_i(p)n_j(p) \right )=E\left ( \left [ n_i(p) \right ]^2 \right )= {\sigma_n}^2 \; \; \; \; 为了 \; \; \; 我 = j\]

总共有 M 个这样的项，因此我们得到：

$${}^{}=\frac{1}{{}^{}}\sum _{j=1}^M\sum _{j=1}^{M}E\left({}_j\right(p\left){}_j\right(p\left)\right)=\frac{1}{{}^{}}M{}^{}=\frac{{}^{}}{M}$$

上面的等式表明，虽然噪声样本的方差为 σ n 2，但信号平均技术将其降低了 M 倍。请注意，所需信号不受平均的影响。因此，我们可以得出结论，信号平均可以将信噪比 (SNR) 提高 M 倍。该分析允许我们为平均技术选择所需的实验次数，以便我们可以实现任意 SNR。 

通过理解以上分析，我们可以更好地了解信号平均技术的局限性。上述分析的隐含假设是：

有时出现在我们测量系统输入端的噪声并不是真正随机的。例如，来自电源线的噪声会产生非随机噪声分量。假设电源线频率为 50 Hz（周期为 20 ms）并且我们每 40 ms 触发测量。如图 7 所示。在这种情况下，影响特定样本的噪声 n(k) 始终与电源线正弦波的特定部分相关。因此，平均技术不会抑制这种噪声。为了解决这个问题，我们可以简单地选择一个不能被 20 ms 整除的测量周期。或者，我们可以使用随机测量周期。

有时，我们测量的信号比噪声分量小几个数量级。在这些情况下，我们需要降噪技术以某种方式抑制噪声。在本文中，我们研究了信号平均技术，当噪声与我们想要的信号不相关时，它会很有帮助。此外，噪声应该具有零均值。我们看到，如果我们重复 M 次实验并计算这些实验的平均值，则信噪比 (SNR) 可以提高 M 倍。